penguasa dunia: Juni 2012

Selasa, 05 Juni 2012

Daftar isi

Prisma

Rumus volume luas alas * tinggi

Balok

Rumus Volume Balok = panjang x lebar x tinggi

luas permukaan balok = 2(pl)+2(lt)+2(pt)

Tabung

Rumus Volume = luas alas * tinggi

     = π * r² * tinggi

Prisma segitiga
Rumus = luas alas * tinggi

     = 1/2 × (alas segitiga × tinggi segitiga) × tinggi prisma

Kubus
Rumus = sisi pangkat 3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

     = 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

     = 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga
Rumus = 1/3 luas alas tinggi

     = 1/3  1/2  alas segitiga  tinggi segitiga  tinggi prisma

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

     = 1/3 * π * r² * tinggi

Prisma
Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

     = panjang * lebar * tinggi

Tabung

Rumus = luas alas * tinggi Teks miring

    = π * r2 * tinggi

Prisma segitiga

Rumus = luas alas * tinggi

    = 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kubus

Rumus = sisi * sisi * sisi

    = s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

    = 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Prisma
Rumus volume = luas alas * tinggi

Balok

Rumus = luas alas * tinggi

    = panjang * lebar * tinggi

[sunting] Tabung
Rumus = luas alas * tinggi

    = π * r2 * tinggi

[sunting] Prisma segitiga
Rumus = luas alas * tinggi

    = 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

[sunting] Kubus
Rumus = sisi * sisi * sisi

    = s3

Limas (piramida)

Rumus = 1/3 * volume prisma

    = 1/3 * luas alas * tinggi

Limas persegi

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * luas persegi * tinggi

Limas segitiga

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * phi * r2 * tinggi

Kerucut

Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * phi * r2 * tinggi

Materi : Vektor

Materi Vektor bagi sebagian siswa dianggap materi yang sulit, padahal didalam kisi-kisi soal Ujian Nasional Matematika SMA Program Studi IPA tahun pelajaran 2011/2012, khususnya untuk materi vektor, terdapat tiga indikator, yaitu :

Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Oleh karena itu, disini akan saya berikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.

Ringkasan Materi

Sudut Antar Dua Vektor.Apabila $\fn_cm \theta$ merupakan sudut antara vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ dan vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ maka
$\fn_cm \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$

Harus diingat pula bahwa, misalkan :
$\fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\a_{3} \end{pmatrix}$ $\fn_cm ; \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \end{pmatrix}$
$\fn_cm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

$\fn_cm |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\: dan\: |\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}$

Proyeksi.
Panjang proyeksi vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ (proyeksi skalar) adalah :
$\fn_cm |\overrightarrow{c}|=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
Proyeksi vektor orthogonal atau proyeksi vektor dari vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ adalah :
$\fn_cm \overrightarrow{c}=\left ( \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^{2}} \right ).\overrightarrow{b}$

Contoh soal dan pembahasannya :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = ....
$\inline \fn_cm A.\: \pi \: \:\:\: \:\: \: B.\: \frac{\pi }{2}\:\: \: \: \:\: \: C.\: \frac{\pi }{3}\: \: \: \: \: \: \: D.\: \frac{\pi }{6}\:\: \: \: \: \: \: E.\: 0$
Ujian Nasional 2010/2011)
Penyelesaian :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4).
$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix},\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-1 \end{pmatrix},dan \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \theta$ adalah besar sudut ABC, hal ini berarti $\inline \fn_cm \theta$ adalah sudut antara vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}$ dan vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\2\\4 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4 \\2\\-4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3\\-3 \end{pmatrix}$
sehingga :
$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|.\overrightarrow{BC}|}=\frac{(3.2)+(2.3)+(4.-3)}{\sqrt{(3)^2+(2)^2+(4)^2}\: .\: \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2}}$
$=\frac{6+6-12}{\sqrt{9+4+16}.\sqrt{4+9+9}}=\frac{0}{\sqrt{29}.\sqrt{22}}=0$
$\cos \theta =0$ maka $\theta =\frac{\pi }{2}$
Jawaban : B
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ . Proyeksi vektor orthogonal vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ adalah ....
$\inline \fn_cm A.\: \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm B.\: \overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm C.\: \overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm D.\: 2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm E.\: 6\overrightarrow{i}-8\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$
(Ujian Nasional 2010/2011)

Penyelesaian :

$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 4\\-2\\2 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 2\\-6\\4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor orthogonal vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{b}$ maka :
$\inline \fn_cm \overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b}$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{(4.2)+(-2.-6)+(2.4)}{\left ( \sqrt{2^2+6^2+4^2} \right )^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{8+12+8}{2^2+6^2+4^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\frac{28}{56}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$